Question

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點。某數學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁、S₂，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.

（1）如圖2，在△ABC中，∠A=36⁰°，AB=AC，∠C的平分線交AB于點D，請問點D是否是AB邊上的黃金分割點，并證明你的結論；
（2）若△ABC在（1）的條件下，如圖（3），請問直線CD是不是△ABC的黃金分割線，并證明你的結論；
（3）如圖4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90⁰，對角線AC、BD交于點F，延長AB、DC交于點E，連接EF交梯形上、下底于G、H兩點，請問直線GH是不是直角梯形ABCD的黃金分割線，并證明你的結論.

Answer 1

（1）點D是AB邊上的黃金分割點（2）直線CD是△ABC的黃金分割線（3）GH不是直角梯形ABCD的黃金分割線

解：（1）點D是AB邊上的黃金分割點，證明如下：
∵∠A=36⁰°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72⁰。
∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=36⁰。∴∠BDC=∠B=72⁰。
∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC。∴。
又∵BC=CD=AD，∴。
∴點D是AB邊上的黃金分割點。
（2）直線CD是△ABC的黃金分割線，證明如下：
設△ABC的邊AB上的高為h，則，
∴。
∵D是AB的黃金分割點，∴。∴。
∴直線CD是△ABC的黃金分割線。
（3）GH不是直角梯形ABCD的黃金分割線，證明如下：
∵BC∥AD，∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD。∴。
∴，即。
同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得，即。
∴。∴AH=HD。∴BG=GC。
∴梯形ABGH與梯形GHDH上下底分別相等，高也相等。
∴。
∴GH不是直角梯形ABCD的黃金分割線。
（1）由等腰三角形角和邊的關系，根據△BCD∽△BAC得到而證明。
（2）根據黃金分割線的定義證明直線CD是△ABC的黃金分割線。
（3）反復應用相似三角形的相似比得出梯形ABGH與梯形GHDH上下底分別相等，高也相等的結論，從而得到GH不是直角梯形ABCD的黃金分割線的結論。