Question

已知：如圖(1)，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線CA⊥BA，AB＝AC＝8cm，四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°得到的，A₁D₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，B₁C₁分別與AB、BC相交于點(diǎn)P、Q．
（1）求四邊形CD₁C₁Q的周長(zhǎng)；(保留無(wú)理數(shù)，下同)
（2）求兩個(gè)平行四邊形重合部分的四邊形APQC的面積S；
（3）如圖(2)，將平行四邊形A₁B₁C₁D₁以每秒1cm的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到B₁C₁在直線AC上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（秒），兩個(gè)平行四邊形重合部分的面積為y（cm²）．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并探索是否存在一個(gè)時(shí)刻x，使得y取最大值，若存在，請(qǐng)你求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)由條件可知 △ABC和△ADC都是等腰直角三角形，
∴ ∠BCA＝∠D₁＝45°，∴ CQ∥D₁C₁，∴ 四邊形CD₁C₁Q是平行四邊形．
∴ C₁D₁＝B₁A₁＝AB＝8, 
CD₁＝A₁D₁－AC＝8－8． 
∴ 四邊形CD₁C₁Q的周長(zhǎng)為 [(8－8)＋8]×2＝16(cm) ．
(2) 如圖①，在等腰直角△A₁B₁P中，A₁B₁＝8，
∴ PA₁＝4，PQ＝BP＝8－4．
∴ 兩個(gè)平行四邊形重合部分的面積為
S＝＝(32－16)(cm²) ．
(3)當(dāng)平行四邊形A₁B₁C₁D₁運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C₁在BC上時(shí)，如圖②，則C₁與Q重合，
這時(shí)運(yùn)動(dòng)距離為C₁H (如圖①)， ∴C₁ H＝QC₁＝CD₁＝8－8
這時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 x＝8－8．

①若0≤x≤8－8，如圖③，AA₁＝x,  AP＝4－x，
PQ＝BP＝AB－AP＝8－(4－x)＝x＋8－4,  A₂C₂＝8－x．
y＝S_{四邊形ABCD}－S_△BPQ－S_△A2C2D＝AB×AC－×BP²－×C₂D²
＝8×8－×(x＋8－4)²－×(8－x)²＝－x²＋4x＋32－16．
∵， 0＜＜8－8  ,
∴ 當(dāng)x＝時(shí)，y_最大1＝32－8．
②若8－8≤x≤4,如圖④, P C₁＝PA₁＝4, AA₁＝A₁A₂＝x，
C₂C₃＝C₂D₁＝8－8．
y＝S_{梯形A1PC1D1}－S_△AA1A2－S_△C2C3D1
＝＝－x²＋64－48．
∵ －＜0, ∴ 當(dāng)x＞0時(shí)，隨的增大而減小，
∴x在8－8≤x≤4范圍內(nèi)，也是隨的增大而減小,
∴ 當(dāng)x＝8－8時(shí)，y_最大2＝128－144．
∵ y_最大2＝128－144＝(32－8)＋(96－136)＝y(tǒng)_最大1＋8(12－17)
且8(12－17)＜0，∴ y_最大2＜y_最大1 ．（得出結(jié)論即可）
∴當(dāng)x＝2秒時(shí)，y取最大值,這個(gè)最大值是(32－8)cm²．

(1)由條件可知 △ABC和△ADC都是等腰直角三角形，求得四邊形CD₁C₁Q是平行四邊形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得四邊形CD₁C₁Q的周長(zhǎng)
(2)根據(jù)梯形的面積公式求解
(3) 當(dāng)平行四邊形A₁B₁C₁D₁運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C₁在BC上時(shí)，則C₁與Q重合， 這時(shí)運(yùn)動(dòng)距離為C₁H，這時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 x＝8－8；然后根據(jù)x的取值范圍分兩種情況進(jìn)行討論求值