Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F為AB的中點，DE，AB相交于點G，若∠BAC=30⁰，下列結論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA.其中正確結論的序號是（ ▲ ）

A. ②④    B. ①③   C. ①③④   D. ①②③④                                                                              

Answer 1

C

∵ACE是等邊三角形∴∠EAC=60°，AE="AC" ∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB="2BC" ∵F為AB的中點∴AB=2AF∴BC=AF
∴△ABC≌△EFA ∴∠AEF=∠BAC=30°∴EF⊥AC.故①是正確的；
∵△ABC≌△EFA ∴EF="AB" ∵AB="AD" ∴AD="EF" 同理可證AE="DF"
∴ADFE是平行四邊形∵F為AB的中點∴△AFD是直角三角形，AD≠DF.
因此四邊形ADFE不是菱形.故②不正確；
∵ADFE是平行四邊形∴AG=AF=AB∵AD=AB∴AD=4AG.故③是正確的；
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS）．故④是正確的.故選C．