Question

20．如圖，△ABC的三個頂點坐標分別為（0，2），（-1，0）和（3，0），動點P從原點O出發（點P不與原點O重合），沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，過點P作直線l⊥x軸，設點P的運動時間為t（秒）．
（1）操作：
①在圖中畫出△ABO關于y軸對稱的圖形（記為△A′B′O′）；
②在圖中畫出△A′B′O′關于直線l對稱的圖形（記為△A″B″O″）；
（2）猜想線段A″B″、AB的關系，并證明你的猜想；
（3）設△A″B″O″與△ABC重疊部分的面積為S（單位長度），求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據軸對稱畫出圖形即可；
（2）利用軸對稱的性質，對應角相等，對應邊相等，再用同位角相等，兩直線平行即可得出結論；
（3）分兩種情況，利用相似三角形的性質和三角形的面積的差即可得出結論

解答 解：（1）①如圖1，△ABO關于y軸對稱的圖形為△A′B′O′；
②如圖1，△A′B′O′關于直線l對稱的圖形為△A″B″O″；
（2）A''B''∥AB且A''B''=AB，
理由：∵△ABO關于y軸對稱的圖形為△A′B′O′；
∴AB=A'B'，∠ABO=∠A'B'O'，
∵△A′B′O′關于直線l對稱的圖形為△A″B″O″；
∴A'B'=A''B''，∠A'B'O'=∠A''B''O''，
∴AB=A''B''，∠ABO=∠A''B''O''，
∴AB∥A''B''，
∴A''B''∥AB且A''B''=AB；
（3）當0＜t≤$\frac{3}{2}$時，如圖2，由點B'是點B關于直線l的對稱點，
∴B'（1，0），∴OB'=1，
∵△A'O'B'與△A''O''B''關于直線l對稱，
∴OB''=OO''-O''B''=2t-1，
∴B''C=OC-OB''=3-（2t-1）=4-2t=2（2-t），
O''C=OC-OB''-O''B''=3-（2t-1）-1=3-2t，
∵tan∠OCA=$\frac{2}{3}$=$\frac{DO''}{CO''}$，
∴DO''=$\frac{2}{3}$CO''=$\frac{2}{3}$（3-2t），
∴S_△CDO''=$\frac{1}{2}$CO''×DO''=$\frac{1}{2}$×（3-2t）×$\frac{2}{3}$（3-2t）=$\frac{1}{3}$（3-2t）²，
∴OA=2，BC=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×OA=4，
由（2）知，A''B''∥AB，
∴△CB''E∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△B''CE}}{{S}_{△CBA}}=（\frac{B''C}{BC}）^{2}$，
∴$\frac{{S}_{△B''CE}}{4}=\frac{4（2-t）^{2}}{16}$，
∴S_△B''CE=（2-t）²，
∴S=S_△B''CE-S_△CDO''=（2-t）²-$\frac{1}{3}$（3-2t）²=$\frac{1}{3}$t²+1

當$\frac{3}{2}$＜t≤2時，如圖3，由點B'是點B關于直線l的對稱點，
∴B'（1，0），
∴OB'=1，
∵△A'O'B'與△A''O''B''關于直線l對稱，
∴OB''=OO''-O''B''=2t-1，
∴B''C=OC-OB''=3-（2t-1）=4-2t=2（2-t），
∵OA=2，BC=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×OA=4，
由（2）知，A''B''∥AB，
∴△CB''E∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△B''CE}}{{S}_{△CBA}}=（\frac{B''C}{BC}）^{2}$，
∴$\frac{{S}_{△B''CE}}{4}=\frac{4（2-t）^{2}}{16}$，
∴S_△B''CE=（2-t）²，
∴S=S_△B''CE=（2-t）²，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{t}^{2}+1（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{（2-t）^{2}（\frac{3}{2}＜t≤2）}\end{array}\right.$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了軸對稱的性質，平行線的性質和判定，相似三角形的性質和判定，三角形的面積公式，解本題的關鍵是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，是一道中等難度的中考常考題．