Question

在平面直角坐標系xOy中，已點A(6，0)，點B(0，6)，動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過D作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D(其中點C、D按順時針方向排列)，連接AB．
(1)當OC//AB時，∠BOC的度數為   
(2)連接AC、BC，當點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．
(3)連接AD，當OC//AD時，
①求出點C的坐標；
②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由．

Answer 1

(1) 45°或135°；(2) 當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，△ABC的面積最大，最大值為9+18．(3) （-，），（，）；是，理由見解析.

試題分析：（1）根據點A和點B坐標易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當C點在y軸左側時，有∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側時，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，從而得出答案；
（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=OA=6，根據三角形面積公式得到當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質計算出OE，然后計算△ABC的面積；
（3）①過C點作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則，即，得出CF=，再利用勾股定理計算出OF=，則可得到C點坐標；
②由于OC=3，OF=，得出∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據“SAS”判斷△BOC≌△AOD，從而得出∠BCO=∠ADO=90°，再根據切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．
（1）∵點A（6，0），點B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴當C點在y軸左側時，∠BOC=∠OBA=45°，
當C點在y軸右側時，∠BOC=180°-∠OBA=135°，
∴∠OBA=45°或135°；
(2)∵△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=OA=6，
∴當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，
過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，

如圖：此時C點到AB的距離最大值為CE的長，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴OE=AB=3，
∴CE=OC+OE=3+3，
△ABC的面積=CE•AB=×（3+3）×6=9+18，
當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，△ABC的面積最大，最大值為9+18．
(3)如圖：當C在第二象限時，過點C作CF⊥x軸于F，則∠CFO=90°，
∵OC∥AD，
∴∠COF=∠DAO，
∴∠ADO=∠COD=90°，
∴∠ADO=∠CFO，
∴△OCF∽△AOD，
∴，即，
解得：CF=，
在Rt△OCF中，OF=，
∴C點的坐標為（-，），
同理，當C在第一象限時，C點的坐標是（，），
∴C點的坐標為（-，），（，）；
②直線BC為為⊙O的切線，理由如下：
如圖：在Rt△OCF中，OC=3，CF=，
∴sin∠COF=
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
在△BOC和△AOD中，
，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∴OC⊥BC，
∴直線BC是⊙O的切線；