Question

已知如圖，拋物線t=ax²+bx+c與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A，M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交拋物線于N，交⊙P于D．
（1）填空：A點坐標是______，⊙P半徑的長是______，a=______，b=______，c=______；
（2）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N點的坐標；
（3）若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

（1）將B（1，0）、C（4，0）兩點坐標代入拋物線t=ax²+bx+c得：

a+b+c=0 16a+4b+c=0

解得

b=-5a c=4a

①
由題意可知：PA=PB=PC，且PA⊥y軸，
設P點坐標為P（2.5，y_A ），由題意可知PA=PB=PC=2.5，
根據勾股定理可求得y_A=2，
∴A點坐標是（0，2），⊙P半徑為的長為2.5，
將A點坐標代入拋物線方程可得2=c，
聯立①式便可解得a=0.5，b=-2.5，c=2．
∴拋物線的方程為t=0.5x²-2.5x+2，
故答案為：（0，2），2.5，0.5，-2.5，2；

（2）S_△BNC：S_△AOB=

1 2 ×BC×yN

1 2 ×OB×OA

=

3×yN

1×2

=

15

2

，
解得y_N=5，
將y_N=5代入拋物線的方程t=0.5x²-2.5x+2得：x₁=-1，x₂=6，
觀察圖形可知x₂=6符合題意，
∴N點的坐標為N（6，5）；

（3）由題意可知△AOB∽△DBA，

AB

DA

=

AO

DB

=

OB

BA

，
∵OA=2，OB=1，
由勾股定理可知AB=

5

，根據三角形相似可知BD=2

5

，
由射影定理可知：AB²=MB×BD，
(

5

)2=MB×2

5

，
解得MB=

5

2

，MD=MB+BD=

5 5

2

，
∴MB•MD=

5

2

×

5 5

2

=

25

4

．