Question

（2012•衡陽）如圖，A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），點P由點B出發沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設運動時間為t（0＜t＜

10

3

）秒．解答如下問題：
（1）當t為何值時，PQ∥BO？
（2）設△AQP的面積為S，
①求S與t之間的函數關系式，并求出S的最大值；
②若我們規定：點P、Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則新坐標（x₂-x₁，y₂-y₁）稱為“向量PQ”的坐標．當S取最大值時，求“向量PQ”的坐標．

Answer 1

分析：（1）如圖①所示，當PQ∥BO時，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式

AP

AB

=

AQ

AO

，求出t的值；
（2）①求S關系式的要點是求得△AQP的高，如圖②所示，過點P作過點P作PD⊥x軸于點D，構造平行線PD∥BO，由線段比例關系

AP

AB

=

PD

OB

求得PD，從而S可求出．S與t之間的函數關系式是一個關于t的二次函數，利用二次函數求極值的方法求出S的最大值；
②本問關鍵是求出點P、Q的坐標．當S取最大值時，可推出此時PD為△OAB的中位線，從而可求出點P的縱橫坐標，又易求Q點坐標，從而求得點P、Q的坐標；求得P、Q的坐標之后，代入“向量PQ”坐標的定義（x₂-x₁，y₂-y₁），即可求解．

解答：解：（1）∵A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8，
∴AB=

OB2+OA2

=

62+82

=10．
如圖①，當PQ∥BO時，AQ=2t，BP=3t，則AP=10-3t．
∵PQ∥BO，
∴

AP

AB

=

AQ

AO

，即

10-3t

10

=

2t

8

，
解得t=

20

11

，
∴當t=

20

11

秒時，PQ∥BO．

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如圖②所示，過點P作PD⊥x軸于點D，則PD∥BO，
∴

AP

AB

=

PD

OB

，即

10-3t

10

=

PD

6

，解得PD=6-

9

5

t．
S=

1

2

AQ•PD=

1

2

•2t•（6-

9

5

t）=6t-

9

5

t²=-

9

5

（t-

5

3

）²+5，
∴S與t之間的函數關系式為：S=-

9

5

（t-

5

3

）²+5（0＜t＜

10

3

），
當t=

5

3

秒時，S取得最大值，最大值為5（平方單位）．
②如圖②所示，當S取最大值時，t=

5

3

，
∴PD=6-

9

5

t=3，
∴PD=

1

2

BO，
又∵PD∥BO，
∴此時PD為△OAB的中位線，則OD=

1

2

OA=4，
∴P（4，3）．
又∵AQ=2t=

10

3

，
∴OQ=OA-AQ=

14

3

，∴Q（

14

3

，0）．
依題意，“向量PQ”的坐標為（

14

3

-4，0-3），即（

2

3

，-3）．
∴當S取最大值時，“向量PQ”的坐標為（

2

3

，-3）．

點評：本題是典型的動點型問題，解題過程中，綜合利用了平行線分線段成比例定理（或相似三角形的判定與性質）、勾股定理、二次函數求極值及三角形中位線性質等知識點．第（2）②問中，給出了“向量PQ”的坐標的新定義，為題目增添了新意，不過同學們無須為此迷惑，求解過程依然是利用自己所熟悉的數學知識．