Question

【題目】如圖1，已知拋物線L1：y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，在L1上任取一點P，過點P作直線l⊥x軸，垂足為D，將L1沿直線l翻折得到拋物線L2，交x軸于點M，N（點M在點N的左側）．

（1）當L1與L2重合時，求點P的坐標；

（2）當點P與點B重合時，求此時L2的解析式；并直接寫出L1與L2中，y均隨x的增大而減小時的x的取值范圍；

（3）連接PM，PB，設點P（m，n），當n= m時，求△PMB的面積．

Answer 1

【答案】（1）P（1，4）；（2）x≥5 ；（3）△PMB的面積為或3

【解析】

（1）由配方法可得頂點坐標；

（2）由對稱性求出拋物線L2的頂點，進而得到解析式，由圖象可得；

（3）利用點P在拋物線上和n=m構造方程求出m、n，分類討論求△PMB的面積．

（1）由拋物線對稱性，當點P為拋物線L1的頂點時，拋物線L1與L2重合

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4

∴點P（1，4）

（2）在拋物線L1中，令y=0，即-x2+2x+3=0

解得x1=-1，x2=3

當點P與點B重合時，此時P（3，0）

∴拋物線L2與拋物線L1關于直線x=3對稱

∴拋物線L2的頂點為（5，4）

∵由拋物線對稱性可知，拋物線L1和L2開口方向和大小相同．

∴拋物線L2和的解析式為y=-（x-5）2+4=-x2+10x-21

∴結合圖象可知，當x≥5時，拋物線L1與拋物線L2中，y均隨x的增大而減小

（3）當n=m時，-m2+2m+3=m

解得m1=-，m2=2

∴點P坐標為（-，-）或（2，3）

①如圖1，

當點P坐標為（-，-）時，點D的坐標為坐標為（-，0）

∴DB=3-（-）=

∴MB=2BD=2×=9

∴S△PMB=MBPD＝×9×＝

②如圖2，

當點P坐標為（2，3）時，點D的坐標為坐標為（2，0）

∴DB=3-2=1

∴MB=2BD=2

∴S△PMB=MBPD＝×2×3＝3

綜上所述當點n=m時，△PMB的面積為或3.