Question

【題目】如圖，分別以 Rt△ ABC 的直角邊 AC 及斜邊 AB 向外作等邊△ ACD，等邊△ ABE.已知∠ABC＝60°，EF⊥AB，垂足為 F，連接 DF.

(1)證明：△ACB≌△EFB；

(2)求證：四邊形 ADFE 是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解.

【解析】

（1）由△ABE是等邊三角形可知：AB=BE，∠EBF=60°，于是可得到∠EFB=∠ACB=90°，∠EBF=∠ABC，接下來依據AAS證明△ABC≌△EBF即可；

（2）由△ABC≌△EBF可得到EF=AC，由△ACD是的等邊三角形進而可證明AC=AD=EF，然后再證明∠BAD=90°，可證明EF∥AD，故此可得到四邊形EFDA為平行四邊形．

解：（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，

∴∠EBF=60°，AE=BE，∠EFB=90°．

又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠EFB=∠ACB，∠EBF=∠ABC．

∵BE=BA，

∴△ABC≌△EBF（AAS）.

（2）證明：∵△ABC≌△EBF，

∴EF=AC．

∵△ACD是的等邊三角形，

∴AC=AD=EF，∠CAD=60°，

又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，

∴∠EFA=∠BAD=90°，

∴EF∥AD．

又∵EF=AD，

∴四邊形EFDA是平行四邊形．