Question

閱讀下面材料，并解答問題．
材料：將分式

-x4-x2+3

-x2+1

拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式．
解：由分母為-x²+1，可設-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b
則-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵對應任意x，上述等式均成立，∴

a-1=1 a+b=3

，∴a=2，b=1
∴

-x4-x2+3

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)+1

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)

-x2+1

+

1

-x2+1

=x²+2+

1

-x2+1

這樣，分式

-x4-x2+3

-x2+1

被拆分成了一個整式x²+2與一個分式

1

-x2+1

的和．
解答：
（1）將分式

-x4-6x2+8

-x2+1

拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式．
（2）當x∈（-1，1），試說明

-x4-6x2+8

-x2+1

的最小值為8．

Answer 1

（1）由分母為-x²+1，可設-x⁴-6x²+8=（-x²+1）（x²+a）+b
則-x⁴-6x²+8=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵對應任意x，上述等式均成立，
∴

a-1=6 a+b=8

，
∴a=7，b=1，
∴

-x4-6x2+8

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+7)+1

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+7)

-x2+1

+

1

-x2+1

=x²+7+

1

-x2+1

這樣，分式

-x4-6x2+8

-x2+1

被拆分成了一個整式x²+7與一個分式

1

-x2+1

的和．

（2）由

-x4-6x2+8

-x2+1

=x²+7+

1

-x2+1

知，
對于x²+7+

1

-x2+1

，當x=0時，這兩個式子的和有最小值，最小值為8，
即

-x4-6x2+8

-x2+1

的最小值為8．