Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=4cm，BC=3cm，點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連結PQ。若設運動時間為t（s）（0<t<2)，解答下列問題：

（1）當t為何值時？PQ//BC？
（2）設△APQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系？
（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的周長和面積同時平分？若存在求出此時t的值；若不存在，說明理由。
（4）如圖2，連結PC，并把△PQC沿AC翻折，得到四邊形PQP'C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在求出此時t的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

試題分析：（1）當PQ∥BC時，我們可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出關于AP，AB，AQ，AC的比例關系，我們觀察這四條線段，已知的有AC，根據P，Q的速度，可以用時間t表示出AQ，BP的長，而AB可以用勾股定理求出，這樣也就可以表示出AP，那么將這些數值代入比例關系式中，即可得出t的值．
（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據Q的速度和時間t表示出來．關鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求．AP的長可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出y與t的函數關系式．
（3）如果將三角形ABC的周長和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長，那么可以求出此時t的值，我們可將t的值代入（2）的面積與t的關系式中，求出此時面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時刻．
（4）過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個矩形，解題思路：通過三角形BPN和三角形ABC相似，得出關于BP，PN，AB，AC的比例關系，即可用t表示出PN的長，也就表示出了MC的長，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據等腰三角形三線合一的特點，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線段和AC的長，就可以根據AC=AQ+QM+MC來求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的長，也就能求出菱形的邊長了．
試題解析：(1) 連接PQ，

若時，PQ//BC，即，
∴ t=
(2) 過P作PD⊥AC于點D，則有，
即，
∴ PD=
∴  y==（0<t<2)
(3) 若平分周長則有：
AP+AQ=(AB+AC+BC),
即：5－t+2t=6，
∴ t=1
當t=1時，y=3.4；而三角形ABC的面積為6，顯然不存在。
過P作PD⊥AC于點D，若QD=CD，則PQ=PC，四邊形PQP'C就為菱形。

同(2)方法可求AD=，所以：
-2t=4-；
解之得：t=。
即t=時，四邊形PQP'C為菱形。
考點: 相似形綜合題.