Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于E．

(1)求證：直線CD為⊙O的切線；

(2)當AB＝2BE，且CE＝時，求AD的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)1.5.

【解析】

（1）連接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據切線的判定判斷即可；
（2）根據題意利用等腰三角形的性質得到OC＝OE，再結合勾股定理求出OC＝1，OE＝2，再得到Rt△OCE是含30度角的直角三角形，再利用含30度角的直角三角形的性質，即可求出答案．

(1)證明：連接OC，如圖所示，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠OCA，

∴∠OAC＝∠CAD，

∴OC∥AD，

∵AD⊥DE，

∴OC⊥DE，

∵OC為圓O的半徑，

∴CD為圓O的切線；

(2)解：∵AB＝2BE，且AB＝2OA＝2OB，

∴OA＝OB＝BE＝OC，

即OC＝OE，

在Rt△OCE中，CE＝，

∴OC＝1，OE＝2，

∵在Rt△OCE中，2OC= OE，

∴∠CEO=30°，

即AE＝3，

∴AD＝AE＝1.5．