Question

【題目】如圖，在以為直徑的半上有C，點在上，過圓心作的于點的延長線交于點，連結，若．

試說明；

若的面積為面積的倍，連接交于點，求的值和的長：

在的條件下，延長與的延長線相交于點，直接寫的長

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接BC由垂徑定理可得OF垂直平分CD，得出△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=∠CDE=45°，再根據圓的內接四邊形的性質即可得出答案；

（2）連接OC、BD，得出 AE=3DE=，AD=，由勾股定理計算出AC的長度，再由圓周角定理證出△ABC是等腰直角三角形，得出BC、AC和AB的長度，進而由勾股定理得出BD的長度，再利用圓周角定理即可得出tan∠ACD的值；證明△PCF∽△ABD，利用相似比即可得出OP的長度；

（3）由等腰直角三角形的性質得出OC⊥AB，證明△OCG∽△EAG，利用相似比即可得出答案．

解：（1）證明：連接BC，如圖1所示：

∵OF⊥CD

∴DF=CF

∴DE=EC

∵∠DEC=90°

∴△CDE是等腰直角三角形

∴∠DCE=∠CDE=45°

∴∠ABC=∠CDE=45°

∵AB是直徑

∴∠ACB=90°

∴∠BAC=45°

（2）連接OC、BD，如圖2所示：

∵DF=CF=1

∴CD=2，△CDE是等腰直角三角形

∴ED=EC=

∵△ACE的面積為△DCE面積的3倍

∴AE=3DE=，AD=

∴AC=

∵AB是半圓的直徑

∴∠ACB=∠ADB=90°

∵∠BAC=45°

∴△ABC是等腰直角三角形

∴BC=AC=，AB=AC=2

∴OC=OA=OB=，BD=

∵∠ACD=∠ABD

∴tan∠ACD= tan∠ABD=

∵∠PFC=∠ADB=90°

∴△PCF∽△ABD

∴

解得：PF=

∵OF=

∴OP=OF-PF=

（3）如圖3所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB

∴OC⊥AB

∴∠COG=∠DEC=90°

∵∠G=∠G

∴△OCG∽△EAG

∴

即

∴BG=，CG=