Question

【題目】現用棱長為2cm的小立方體按如圖所示規律搭建幾何體，圖中自上面下分別叫第一層、第二層、第三層…，其中第一層擺放1個小立方體，第二層擺放3個小立方體，第三層擺放6個小立方體…，那么搭建第1個小立方體，搭建第2個幾何體需要4個小立方體，搭建第3個幾何體需要10個小立方體…，按此規律繼續擺放．

（1）搭建第4個幾何體需要小立方體的個數為　 　；

（2）為了美觀，需將幾何體的所有露出部分（不包含底面）都噴涂油漆，且噴涂1cm2需用油漆0.2克．

①求噴涂第4個幾何體需要油漆多少克？

②如果要求從第1個幾何體開始，依此對第1個幾何體，第2個幾何體，第3和幾何體，…，第n個幾何體（其中n為正整數）進行噴涂油漆，那么當噴涂完第21個幾何體時，共用掉油漆多少克？

（參考公式：①1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝；

②12+22+32+…+n2＝，其中n為正整數）

Answer 1

【答案】（1）20；（2）①40克；②7084克

【解析】

（1）觀察圖形，發現第1層是1個；第2層是3個，即3＝1+2；第3層是6個，即6＝1+2+3；第4層1+2+3+4＝10個，由此求得搭建第4個幾何體需要小立方體的個數為1+3+6+10＝20個；

（2）①需要油漆也就是這個圖形底面積的5倍，底面的小正方形的個數是1+2+3+…+n，由此當n＝4，代入即可得到結果；

②由①的計算規律計算即可．

（1）搭建第4個幾何體需要小立方體的個數為1+3+6+10＝20個；

（2）①5×（1+2+3+4）×22×0.2＝40（克）．

答：噴涂第4個幾何體需要油漆40克；

②5×[1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+…+（1+2+3+4+…+19+21）]×22×0.2

＝5×[×]×22×0.2

＝5×1771×4×0.2

＝7084（克）．

答：當噴涂完第21個幾何體時，共用掉油漆7084克．