Question

【題目】如圖，長方形AOBC在直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，已知點C的坐標是（8，4）．

（1）對角線AB的垂直平分線MN交x軸于點M，連接AM，求線段AM的長；

（2）在x軸上是否存在一個點P，使△PAM為等腰三角形？如果有請直接寫出符合題意的所有點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）AM=5；（2）△PAM為等腰三角形，點P的坐標是（-3，0）或（-2，0）或（8，0或（-，0）.

【解析】

（1）設AM=x，則BM=x，OM=8-x，根據勾股定理列方程得：AO2+OM2=AM2，則42+（8-x）2=x2，解出即可；

（2）△PAM為等腰三角形時，分情況進行討論：①以A為圓心，以AM為半徑畫圓；②以M為圓心，以MA為半徑，畫圓；③作AM的垂直平分線；確定點P的位置，分別計算可得結論．

（1）由題意得：OA=4，OB=8，

∵MN是AB的垂直平分線，

∴AM=BM，

設AM=x，則BM=x，OM=8-x，

Rt△AOM中，由勾股定理得：AO2+OM2=AM2，

∴42+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

∴AM=5；

（2）如圖，①當AP1=AM=5時，OM=OP1=3，此時P1（-3，0）；

②當AM=P2M=P3M=5時，此時P2（-2，0），P3（8，0）；

③如圖，作AM的垂直平分線，交AM于E，交x軸于P4，

∴EM=，

sin∠EP4M==sin∠OAM=，

∴P4M=，

∴OP4=-3=，此時P4（-，0），

綜上，△PAM為等腰三角形，點P的坐標是（-3，0）或（-2，0）或（8，0）或（-，0）