Question

如圖，BC是⊙O的直徑，半徑為R，A為半圓上一點，I為△ABC的內心，延長AI交BC于D點，交⊙0于點E，作IF⊥BC，連接AO，BI．下列結論：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI；④

IF+R

AE

為定值，其中正確的結論有（　　）

• A、①③④
• B、①②③
• C、①②③④
• D、①②④

Answer 1

分析：①利用直角三角形內切圓半徑的求法解答即可；
②利用角平分線定義，三角形內角和定理，圓周角定理可得正確性；
③利用角平分線定義，外角知識可得∠EIB=∠EBI，那么EB=EI；
④過E點作角兩邊的垂線，可以由三角形全等及等腰直角三角形性質，得到（AB+AC）

2

2

=AE，再由第（1）問，AB+AC=2（IF+R），可得④正確．

解答：解：①∵直角三角形內切圓半徑=

AB+AC-BC

2

，
∴IF=

AB+AC-BC

2

，
∴AB+AC=BC+2IF，正確；
②∵I為△ABC的內心，
∴∠BIA=90+

1

2

∠C，
∴4∠BIA=360°+2∠C，
∵∠BOA=2∠C，
∴4∠AIB-∠BOA=360°，正確；
③

∵點I是△ABC的內心，
∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠EBC=∠BAD，
∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD
∴∠EIB=∠EBI，
∴EB=EI．③正確；
④作EN⊥AC于點N，EM⊥AB于點M，連接EC，EB，那么四邊形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，

∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，
∴∠EAN=45°，
∴EN=AN，
∴四邊形ENAM是正方形，
∴（AM+AN）

2

2

=AE，EN=EM，
∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，
∴∠CEN=∠BEM，
∴△CEN≌△BEM，
∴CN=BM，
∴（AB+AC）

2

2

=AE，
由（1）得AB+AC=BC+2IF，
∴AB+AC=2R+2IF，
IF+R=

AB+AC

2

，
∴

IF+R

AE

=

2

2

，
∴④正確．
故選C．

點評：本題綜合考查了與圓有關的知識；用到的知識點為：直角三角形內切圓的半徑為：

a+b-c

2

，外接圓半徑為

c

2

；利用直角三角形的內切圓的圓心是內角平分線的交點作出輔助線構造全等三角形是解決本題的難點．