Question

（2013年浙江義烏12分）如圖1，已知（x＞）圖象上一點(diǎn)P，PA⊥x軸于點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，b）（b＞0），動(dòng)點(diǎn)M是y軸正半軸上B點(diǎn)上方的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N在射線AP上，過點(diǎn)B作AB的垂線，交射線AP于點(diǎn)D，交直線MN于點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，取AQ的中點(diǎn)為C．

（1）如圖2，連結(jié)BP，求△PAB的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)，若四邊形BQNC是菱形，面積為，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在射線BD上時(shí)，且a=3，b=1，若以點(diǎn)B，C，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求這個(gè)平行四邊形的周長．

Answer 1

解：（1）。
（2）如圖1，∵四邊形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC。
∵AB⊥BQ，C是AQ的中點(diǎn)，∴BC=CQ=AQ。∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°。
在△ABQ和△ANQ中，∵，∴△ABQ≌△ANQ（SAS）。
∴∠BAQ=∠NAQ=30°。∴∠BAO=30°。
∵S_{四邊形BQNC}=，∴BQ=2。∴AB=BQ=。∴OA=AB=3。
又∵P點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）。
（3）∵OB=1，OA=3，∴AB=。
∵△AOB∽△DBA，∴。∴BD=3。
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上，

∵AB⊥BD，C為AQ的中點(diǎn)，∴BC=AQ。
∵四邊形BNQC是平行四邊形，∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD。
∴，∴BQ=CN=BD=。
∴AQ=2。
∴C_{四邊形BQNC}=。
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD的延長線上，

∵AB⊥BD，C為AQ的中點(diǎn)，
∴BC=CQ=AQ。
∴平行四邊形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ。
∴。∴BQ=3BD=9。
∴。
∴C四邊形BNQC=2AQ=。

（1）根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等即可求出△PAB的面積。
（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后根據(jù)SAS證明△ABQ≌△ANQ，進(jìn)而求出∠BAO=30°，由S_{四邊形BQNC}=求出OA=3，于是P點(diǎn)坐標(biāo)求出。
（3）分兩類進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上，根據(jù)題干條件求出AQ的長，進(jìn)而求出四邊形的周長，當(dāng)點(diǎn)Q在線段考點(diǎn)：
BD的延長線上，依然根據(jù)題干條件求出AQ的長，再進(jìn)一步求出四邊形的周長。