Question

【題目】已知橢圓 為參數），A，B是C上的動點，且滿足OA⊥OB（O為坐標原點），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，點D的極坐標為 ．
（1）求線段AD的中點M的軌跡E的普通方程；
（2）利用橢圓C的極坐標方程證明 為定值，并求△AOB的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：點D的直角坐標為 ，由題意可設點A的坐標為（2cosα，sinα）參數，

則線段AD的中點M的坐標為 ，

所以點M的軌跡E的參數方程為 為參數）

消去α可得E的普通方程為

（2）解：橢圓C的普通方程為 ，化為極坐標方程得ρ2+3ρ2sin2θ=4，

變形得 ，

由OA⊥OB，不妨設 ，所以

= （定值），

S△AOB= ρ1ρ2= = ，

易知當sin2θ=0時，S取得最大值1

【解析】（1）由題意求得線段AD中點坐標M，即可求得M的軌跡E的參數方程，消去α，即可求得E的普通方程；（2）由橢圓的普通方程，求得極坐標方程，求得 ，由OA⊥OB，根據 ，化簡即可求得 = 為定值，根據三角形的面積公式，利用二倍角公式，及三角函數的性質，即可求得△AOB面積的最大值．