Question

【題目】如圖，四邊形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．

（1）探究箏形對角線之間的位置關系，并證明你的結論；
（2）在箏形ABCD中，已知AB=AD=10，BC=CD，BC＞AB，BD、AC為對角線，BD=16．
①若∠ABC=90°，求AC的長；
②過點B作BF⊥CD于F，BF交AC于點E，連接DE．當四邊形ABED為菱形時，求點F到AB的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連接MN、OT交于點A，

MN⊥OT，理由是：

∵OM=ON，TM=TN，OT=OT，

∴△OMT≌△ONT，

∴∠MOT=∠NOT，

∵OM=ON，

∴MN⊥OT

（2）

解：①如圖2所示，

∵四邊形ABCD為箏形，

∴AC⊥BD，

∵AB=AD，

∴OB=OD= BD= ×16=8，

由勾股定理得：AO= =6，

設OC=x，

∵∠ABC=90°，

∴BC2=AC2﹣AB2，BC2=OC2+OB2，

∴82+x2=（6+x）2﹣102，

解得：x= ，

∴AC=OA+OC=6+ = ；

②如圖3所示：

∵四邊形ABED為菱形，

∴BE=AD=10，EM=AM=6，

∵∠FBD=∠FBD，∠BMC=∠BFD=90°，

∴△BEM∽△BDF，

∴ ，

∴ ，

∴DF=9.6，

在Rt△DEF中，EF= =2.8，

∴BF=2.8+10=12.8，

∵∠BGF=∠EFD=90°，∠GBF=∠FED，

∴△BGF∽△EFD，

∴ ，

∴FG= = =12.288．

則點F到AB的距離為12.288

【解析】（1）如圖1，證明△OMT≌△ONT，得∠MOT=∠NOT，再根據等腰△OMN三線合一的性質得MN⊥OT；（2）①如圖2，先根據勾股定理求AO的長，再利用勾股定理列方程求OC的長，則AC=OC+AO，代入得出結論；②如圖3，先證明△BEM∽△BDF，可得 ，求出DF=9.6；再通過勾股定理求EF的長，則得BF的長，通過證明△BGF∽△EFD，得 ，所以可以求FG的長，即點F到AB的距離．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．