Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過點A（0，4）、B（2，4），它的最高點縱坐標為

14

3

，點P是第一象限拋物線上一點且PA=PO，過點P的直線分別交射線AB、x正半軸于C、D．設AC=m，OD=n．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求點P的坐標及n關于m的函數關系式；
（3）連接OC交AP于點E，如果以A、C、E為頂點的三角形與△ODP相似，求m的值．

Answer 1

（1）設函數解析式為y=a(x-1)2+

14

3

，
解出a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

(x-1)2+

14

3

；

（2）求出點P的坐標為（3，2），
由梯形中位線定理得，AC+OD=3×2=6，m+n=6，
∴n=6-m（0≤m≤6）；

（3）方法一：①當△ACE∽△ODP時（如圖1），∠ACO=∠ODP，
∵AB∥x軸，∴∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠ODP，OC=CD，又CF⊥OD，∴AC=OF=

1

2

OD，
∴m=

1

2

（6-m）解得：m=2
②當△ACE∽△OPD時（如圖2），∠ACO=∠OPD，∵∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠OPD，可得△OPD∽△COD，可得OD²=DP•DC，
即OD²=

1

2

CD²，（6-m）²=

1

2

（

42+(2m-6)2

）²，解得：m=

10

方法二：得出AE=

2 13 m

m+6

1當△ACE∽△ODP時，可求出m=2
②當△ACE∽△OPD時，可求出m=

10

．