Question

【題目】已知的半徑為，的半徑為，以為圓心，以的長為半徑畫弧，再以線段的中點P為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧交于點A，連接，，交于點B，過點B作的平行線交于點C．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過點O2作O2D⊥BC，交BC于點D，根據作圖過程可得AP=O1P=O2P，利用等腰三角形的性質和三角形內角和證明AO2⊥AO1，再根據BC∥AO2，證明四邊形ABDO2為矩形，得到O2D=，點D在圓O2上，可得結論；

（2）證明△AO1O2∽△BO1C，求出O1C，利用△BO1C的面積減去扇形BO1E的面積即可.

解：（1）由作圖過程可得：

AP=O1P=O2P=O1O2，AO1=AB+BO1=，

∴∠PAO1=PO1A，∠PAO2=∠PO2A，AB=，

而∠PAO1+∠PO1A+∠PAO2+∠PO2A=180°，

∴∠PAO1+∠PAO2=90°，即AO2⊥AO1，

∵BC∥AO2，

∴O1B⊥BC，即BC與圓O1相切，

過點O2作O2D⊥BC，交BC于點D，

可知四邊形ABDO2為矩形，

∴AB=O2D=，而圓O2的半徑為，

∴點D在圓O2上，

即BC是的切線；

（2）∵AO2∥BC，

∴△AO1O2∽△BO1C，

∴，

∵，，，

即AO1==3，BO1=2，

∴，

∴O1C=4，

∵BO1⊥BC，

∴cos∠BO1C=，

∴∠BO1C=60°，

∴BC=，

∴S陰影=-

=

=