Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4cm，動點P從A向B運動，同時動點Q從B向C運動，其運動的速度均是1cm/s．設運動時間為t（s），請解答下列問題：
（1）設△BPQ的面積為S（cm²），求S與t的函數關系式，并求出自變量t的取值范圍；
（2）若點R是AC的中點，連接PR、QR，試判斷動點P、Q在運動過程中，△PQR的面積是否發生變化？若不變化，求出△PQR面積的大小；若變化，求出其變化過程中的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由于△BPQ為直角三角形，先用含t的代數式分別表示BQ與BP，再根據S=

1

2

BP•BQ即可求解；
（2）根據S_△BPQ=S_△ABC-S_△BPQ-S_△APR-S_△CQR求出△PQR面積關于t的二次函數關系式，再配方得到△PQR面積變化過程中的最大值與最小值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BP=AB-AP=4-t，BQ=t，
∴S_△BPQ=

1

2

×BP×BQ=

1

2

（4-t）t=-

1

2

t²+2t（0≤t≤4）；

（2）△PQR的面積在變化：
S_△BQR=S_△ABC-S_△BPQ-S_△APR-S_△CQR
=

1

2

×4×4-（-

1

2

t²+2t）-

1

2

t×2

2

×

2

2

-

1

2

（4-t）×2

2

×

2

2

=8+

1

2

t²-2t-t-4+t
=

1

2

t²-2t+4
=

1

2

（t-2）²+2，
∵

1

2

＞0且0≤t≤4，
∴當t=2時，△PQR面積的最小值是2；
當t=0或4時，△PQR面積的最大值是4．

點評：本題是二次函數綜合題，涉及了三角形面積的計算，配方法的應用，極值問題，其中（2）的關鍵是得到關于t的二次函數關系式．