Question

【題目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，連接DF，CF．

（1）如圖1，當點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段DF，CF的數量關系和位置關系（不用證明）；

（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°時，請你判斷此時（1）中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷；

（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°時，若AD=1，AC= ，求此時線段CF的長（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，

∴DF= BE，CF= BE，

∴DF=CF．

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°

∵BF=DF，

∴∠DBF=∠BDF，

∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，

∴∠DFE=2∠DBF，

同理得：∠CFE=2∠CBF，

∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，

∴DF=CF，且DF⊥CF

（2）解：（1）中的結論仍然成立．

證明：如圖，此時點D落在AC上，延長DF交BC于點G．

∵∠ADE=∠ACB=90°，

∴DE∥BC．

∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．

∵F為BE中點，

∴EF=BF．

∴△DEF≌△GBF．

∴DE=GB，DF=GF．

∵AD=DE，

∴AD=GB，

∵AC=BC，

∴AC﹣AD=BC﹣GB，

∴DC=GC．

∵∠ACB=90°，

∴△DCG是等腰直角三角形，

∵DF=GF．

∴DF=CF，DF⊥CF

（3）解：延長DF交BA于點H，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，AD=DE．

∴∠AED=∠ABC=45°，

∵由旋轉可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，

∵AE∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠DEF=∠HBF．

∵F是BE的中點，

∴EF=BF，

∴△DEF≌△HBF，

∴ED=HB，

∵AC= ，在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AB=4，

∵AD=1，

∴ED=BH=1，

∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得

DH= ，

∴DF= ，

∴CF=

∴線段CF的長為 ．

【解析】（1）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．（2）延長DF交BC于點G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因為∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．（3）延長DF交BA于點H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根據旋轉條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC= ，可以求出AB的值，進而可以根據勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．