Question

【題目】已知一次函數y=﹣ x+2和y=2x﹣3的圖象分別交y軸與A、B兩點，兩個一次函數的圖象相交于點P．

（1）求△PAB的面積；
（2）求證：∠APB=90°；
（3）若在一次函數y=2x﹣3的圖象上有一點N，且橫坐標為x，連結NA，請直接寫出△NAP的面積關于x的函數關系式，并寫出相應x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意得： ，

解得： ，

則P的坐標是（2，1）．

在y=﹣ x+2中令x=0，解得y=2，則A的坐標是（0，2），

在y=2x﹣3中令x=0，解得y=﹣3，則B的坐標是（0，﹣3），

則AB=5，

則S△PAB= ×5×2=5

（2）證明：∵PA2=22+（2﹣1）2=5，

BP2=22+（1+3）2=20，

AB2=25，

∴PA2+BP2=AB2，

∴△PAB是直角三角形，∠APB=90°

（3）解：N的橫坐標是x，則縱坐標是（x，2x﹣3）．

則PN= = |x﹣2|，

當x＞2時，PN= （x﹣2），

則△NAP的面積S= PAPN= × × （x﹣2）= （x﹣2）；

當x＜2時，PN= （2﹣x），

則△NAP的面積S= PAPN= × × （2﹣x）= （2﹣x）

【解析】（1）解兩個函數解析式組成的方程組求出P點的坐標，再分別求出A、B的坐標，即得AB的長，△ABP的面積等于AB與P點橫坐標乘積的一半可求出；
（2）利用勾股定理的逆定理來證明；
（3）勇x可表示出PN的長，根據△NAP的面積S=PAPN可得到關系式.