Question

四邊形ABCD中,點E是AB的中點,F是AD邊上的動點．連結DE、CF．
（1）若四邊形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如圖（1）所示．

①請直接寫出AE的長度;
②當DE⊥CF時,試求出CF長度．
（2）如圖（2）,若四邊形ABCD是平行四邊形,DE與CF相交于點P．
探究：當∠B與∠PC滿足什么關系時,成立？并證明你的結論．

Answer 1

（1）①AE ="5;" ②CF=;
（2）當∠B+∠EPC=180°時,成立．證明見解析．

試題分析：(1) ①四邊形ABCD是矩形, CD=10,點E是AB的中點,可得：AE=CD=5;
②根據已知證得△AED∽△DFC,;利用相似三角形對應邊成比例即可;
（2）當∠B+∠EPC=180°時,成立．根據已知證得：△DFP∽△DEA,△CPD∽△CDF,再根據對應邊成比例即可．
試題解析：(1)①∵四邊形ABCD是矩形, CD=10,點E是AB的中點,
∴AE=CD=5;
②∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠FDC=90°,
∵CF⊥DE,
∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,
∴∠CFD=∠AED,
∵∠A=∠CDF,
∴△AED∽△DFC
∴
在△AED中,∠A =90°,AD=12,AE =5,
∴
∴
CF=;
（2）當∠B+∠EPC=180°時,成立．
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠B=∠ADC,AD∥BC,
∴∠B+∠A=180°,
∵∠B+∠EPC=180°,
∴∠A=∠EPC=∠FPD,
∵∠FDP=∠EDA,
∴△DFP∽△DEA,
∴,
∵∠B=∠ADC,∠B+∠EPC=180°,∠EPC+∠DPC=180°,
∴∠CPD=∠CDF,
∵∠PCD=∠DCF,
∴△CPD∽△CDF,
∴,
∴,
∴,
即當∠B+∠EPC=180°時,成立．