Question

（1）如圖1,在等邊△ABC中,點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C）,聯結AM,以AM為邊作等邊△AMN,聯結CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】
（2）如圖2,在等邊△ABC中,點M是邊BC延長線上的任意一點（不含端點C）,其它條件不變,（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】
（3）如圖3,在等腰△ABC中,BA=BC,點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C）,聯結AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN=∠ABC．聯結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系,并說明理由．

Answer 1

證明見解析.

試題分析：（1）先證△BAM≌△CAN，再由全等三角形性質得到結論；
（2）先證△BAM≌△CAN，再由全等三角形性質得到結論；
（3）先證△ABC∽△AMN,再證△BAM∽△CAN,由相似三角形性質得到結論。
試題解析：（1）∵△ABC、△AMN是等邊三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN（SAS）,
∴∠ABC=∠ACN；
（2）結論∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形,
∴AB=AC,AM=AN,
∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN（SAS）,
∴∠ABC=∠ACN；
（3）∠ABC=∠ACN．
理由如下：
∵BA=BC,MA=MN,頂角∠ABC=∠AMN,
∴底角∠BAC=∠MAN,
∴△ABC∽△AMN,
∴ ,
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM∽△CAN,
∴∠ABC=∠ACN．