Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4 cm，點E從點A出發，以1cm/s的速度沿著折線A→B→C運動，到達點C時停止運動；點F從點B出發，也以1cm/s的速度沿著折線B→C→D運動，到達點D時停止運動．點E、F分別從點A、B同時出發，設運動時間為t（s）．

（1）當t為何值時，E、F兩點間的距離為2cm；

（2）連接DE、AF交于點M，

①在整個運動過程中，CM的最小值為 cm；

②當CM＝4 cm時，此時t的值為 .

Answer 1

【答案】（1）t1＝2+，t2＝2－； t3＝6+，t4＝6－. （2）① 2－2；② 2或8.

【解析】

（1）分情況討論確定E,F的位置，根據勾股定理求值；

（2）①根據題意分析出點M的運動軌跡是圓，然后根據兩點之間線段最短確定最小值；

②求證△DAM≌△CDN，△DAE∽△DMA，分情況討論求解.

（1） 解：當E、F兩點分別在AB、BC上時，

則AE= t，EB=4－t，BF= t

∵EB2＋BF2＝EF2

∴t2＋（4－t）2＝(2)2

∴ t1＝2+，t2＝2－.

當E、F兩點分別在BC、CD上時，

則CE=8－t，EB=t－4

∵CE2＋CF2＝EF2

∴(8－t)2＋（t－4）2＝(2)2

∴ t1＝6+，t2＝6－.

（2）

∵E,F兩點速度相同，∴AE=BF

又∵正方形ABCD中，AD=BA,∠DAB=∠B=90°，

∴△DAE≌△ABF，

∴∠ADE=∠BAF

∴∠ADE+DAF=90°，即∠AMD=90°

所以點M在以O為圓心，AD為直徑的圓上，連接OC交圓O于點M1,此時CM長度最短，在Rt△DOC中，CO=

所以CM的最小值為 cm；

②

如圖，過點C作CN⊥DE，由題意易證：△DAM≌△CDN，∴DN=AM，又∵CM=CD=4,且CN⊥DE，∴DM=2AM,即

由上一問可知：∠AMD=90°，∴∠DAE=∠AMD,∠ADM=∠EDA

∴△DAE∽△DMA

∴

∴t=AE=2，

當點E到達點C,點F到達點D，此時AM=4，此時t=8,

綜上，當CM＝4 cm時，此時t的值為2或8.