Question

在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點C逆時針旋轉得到線段CD，旋轉角為，且，連接AD、BD．
（1）如圖1，當∠BAC=100°，時，∠CBD 的大小為_________；
（2）如圖2，當∠BAC=100°，時，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD 的大小與（2）中的結果相同，請直接寫出的大小．

Answer 1

（1）30°；（2）30°；（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°.

試題分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以確定∠ABC=∠ACB=40°，旋轉角為α，α=60°時△ACD是等邊三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度數，進而求得∠CBD的大小.
（2）由∠BAC=100°，AB=AC，可以確定∠ABC=∠ACB=40°，連結DF、BF．AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°案．依次證明△DCB≌△FCB，△DAB≌△DAF．利用角度相等可以得到答案．
（3）結合（1）（2）的解題過程可以發現規律，求得答案．
試題解析：（1）30°；（2）30°；
（2）如圖作等邊△AFC，連結DF、BF．
∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．
∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠BCA=40°．
∵∠ACD=20°，∴∠DCB=20°．
∴∠DCB=∠FCB=20°．①
∵AC=CD，AC=FC，∴DC=FC．②
∵BC=BC，③
∴由①②③，得△DCB≌△FCB，
∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．
∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，∴∠BAF=40°．
∵∠ACD=20°，AC=CD，∴∠CAD=80°．∴∠DAF=20°．
∴∠BAD=∠FAD=20°．④
∵AB=AC，AC=AF，∴AB=AF．⑤
∵AD=AD，⑥
∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．∴FD=BD．∴FD=BD=FB．∴∠DBF=60°．∴∠CBD=30°．

（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°．