Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，已知，，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接MP，作的角平分線交邊CD于點(diǎn)N.則線段MN的最小值為_______________

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AM、AN，由翻折可得：，然后根據(jù)，故當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN取得最小值，此時(shí)，故當(dāng)AN取得最小值時(shí)，MN最小，根據(jù)勾股定理可得：當(dāng)DN最小時(shí)，AN最小,根據(jù)相似三角形的判定可得：，列出比例式，設(shè)，，得出CN與x的二次函數(shù)的關(guān)系式，即可求出CN的最大值，從而求出DN的最小值，即可得出AN的最小值，從而求出線段MN的最小值.

解：連接AM、AN

由翻折可得：

∴

當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN取得最小值

即

∴當(dāng)AN取得最小值時(shí)，MN最小

又∵

∴當(dāng)DN最小時(shí)，AN最小

由翻折可得：

又∵PN平分

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

設(shè)，

∴

∴

∴ 當(dāng)時(shí)，

∴

∴

∴

故答案為：.