Question

【題目】在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，圓心A的坐標為（2，0），與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過點C作⊙A的切線BC，交x軸于B．

（1）求直線CB的解析式；

（2）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點在直線BC上，與x軸交的點恰為⊙A與x軸的交點，求該拋物線的解析式；

（3）試判斷C是否在拋物線上？

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；

（2）y=﹣x2+x+2；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）連接AC，根據圓的半徑求出AC，根據點A的坐標求出OA，然后利用勾股定理列式求出OC，從而得到點C的坐標，再求出 然后根據直角三角形兩銳角互余求出 再根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長度，然后求出OB，從而得到點B的坐標，設直線BC的解析式為 然后利用待定系數法求函數解析式解答即可；
（2）根據圓的性質求出點然后設交點式拋物線解析式為再根據拋物線的對稱性確定頂點的橫坐標為2，利用頂點在直線BC上求出縱坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（3）把點C坐標代入拋物線解析式驗證即可．

試題解析：(1)如圖,連接AC,

∵⊙A的半徑為4,圓心A的坐標為(2,0)，

∴AC=4，OA=2，

在Rt△ACO中,

∴點C的坐標為

∵

∴

∴

∴AB=2AC=2×4=8，

∴OB=ABOA=82=6，

∴點B的坐標為(6,0)，

設直線BC的解析式為

則

解得

所以,直線BC的解析式為

(2)∵⊙A的半徑為4,圓心A的坐標為(2,0)，

∴點E(2,0)、F(6,0)，

∵拋物線經過點E.F，

∴頂點的橫坐標為2，

∵頂點在直線BC上，

∴頂點縱坐標為

∴頂點坐標為

設拋物線解析式為y=a(x+2)(x6)，

∴

解得

∴

即

(3)當x=0時,

所以,點在拋物線上.