Question

【題目】如圖，拋物線的頂點坐標為，點的坐標為，為直線下方拋物線上一點，連接，．

（1）求拋物線的解析式．

（2）的面積是否有最大值？如果有，請求出最大值和此時點的坐標；如果沒有，請說明理由．

（3）為軸右側拋物線上一點，為對稱軸上一點，若是以點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，點的坐標為；（3）點的坐標為，．

【解析】

（1）先設頂點式，再代入頂點坐標得出，最后代入計算出二次項系數即得；

（2）點的坐標為，先求出B、C兩點，再用含m的式子表示出的面積，進而得出面積與m的二次函數關系，最后根據二次函數性質即得最值；

（3）分成Q點在對稱軸的左側和右側兩種情況，再分別根據和列出方程求解即得．

（1）設拋物線的解析式為．

∵頂點坐標為

∴．

∵將點代入，解得

∴拋物線的解析式為．

（2）如圖1，過點作軸，垂足為，交于點．

∵將代入，解得，

∴點的坐標為．

∵將代入，解得

∴點C的坐標為

設直線的解析式為

∵點的坐標為，點的坐標為

∴，解得

∴直線的解析式為．

設點的坐標為，則點的坐標為

∴

過點作于點

∵

∴

故當時，的面積有最大值，最大值為

此時點的坐標為

（3）點的坐標為，．

分兩種情況進行①如圖2，過點作軸的平行線，分別交軸、對稱軸于點，

設點的坐標為

∵

∴

∴在和中

∴

∴

∵，

∴

解得（舍去），

∴點的坐標為．

②如圖3，過點，作軸的平行線，過點作軸的平行線，分別交，于點，．

設點的坐標

∵由①知

∴

∵，

∴

解得，（舍去)

∴點的坐標為

綜上所述：點的坐標為或．