Question

【題目】如圖1，在中，，，點分別在邊上，，連接、，點為的中點．

（1）觀察猜想

圖1中，線段與的數量關系是______，位置關系是________；

（2）探究證明

把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，小航猜想（1）中的結論仍然成立，請你證明小航的猜想；

（3）拓展延伸

把繞點在平面內自由旋轉，若，，請直接寫出線段的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1中，設PA交BE于點O．證明△DAC≌△EAB（SAS），結合直角三角形斜邊中線的性質即可解決問題． （2）結論成立．如圖2中，延長AP到M，使得PM=PA，連接JC．延長PA交BE于O．證明△EAB≌△MCA（SAS），即可解決問題． （3）利用三角形的三邊關系求出AM的取值范圍，即可解決問題．

解：（1）如圖1中，設PA交BE于點O．

∵AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠EAB，

∴△DAC≌△EAB（SAS），

∴BE=CD，∠ACD=∠ABE，

∵∠DAC=90°，DP=PC，

∴PA=CD=PC=PD， ∴PA=BE．∠C=∠PAE，

∵∠CAP+∠BAO=90°， ∴∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠AOB=90°， ∴PA⊥BE，

故答案為：，

（2）延長交于延長到使，連接，

則，

，，，，，

又，，，

又，，

，，

，

又，

，

即

（3）∵A在平面內自由旋轉,∴(2)的圖形仍然可用,由已知得AC=10，CM=4，

∴10-4≤AM≤10+4，

∴6≤AM≤14，

∵AM=2AP，

∴3≤PA≤7．

∴PA的最大值為7，最小值為3．

所以：