Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC上的一動點，AP=AQ，∠PAQ=90°，連接CQ．

(1)求證：CQ⊥BC．

(2)△ACQ能否是直角三角形？若能，請直接寫出此時點P的位置；若不能，請說明理由.

(3)當點P在BC上什么位置時，△ACQ是等腰三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點P為BC的中點或與點C重合時，△ACQ是直角三角形；（3）當點P為BC的中點或與點C重合或BP=AB時，△ACQ是等腰三角形.

【解析】

（1）根據同角的余角相等求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△ACQ全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACQ=∠B，再根據等腰直角三角形的性質得到∠B=∠ACB=45°，然后求出∠BCQ=90°，然后根據垂直的定義證明即可；
（2）分∠APB和∠BAP是直角兩種情況求出點P的位置，再根據△ABP和△ACQ全等解答；
（3）分BP=AB，AB=AP，AP=BP三種情況討論求出點P的位置，再根據△ABP和△ACQ全等解答．

解：（1）∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=90°,∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=90°,

∴∠BAP=∠CAQ,

在△ABP和△ACQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ(SAS),

∴∠ACQ=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°,

∴CQ⊥BC；

（2）當點P為BC的中點或與點C重合時，△ACQ是直角三角形；

（3）①當BP=AB時，△ABP是等腰三角形;

②當AB=AP時，點P與點C重合;

③當AP=BP時,點P為BC的中點；

∵△ABP≌△ACQ,

∴當點P為BC的中點或與點C重合或BP=AB時，△ACQ是等腰三角形.