Question

【題目】操作：“如圖1，P是平面直角坐標系中一點（x軸上的點除外），過點P作PC⊥x軸于點C，點C繞點P逆時針旋轉60°得到點Q．”我們將此由點P得到點Q的操作稱為點的T變換．

（1）點P（a，b）經過T變換后得到的點Q的坐標為 ；若點M經過T變換后得到點N（6，﹣ ），則點M的坐標為 ．
（2）A是函數y= x圖象上異于原點O的任意一點，經過T變換后得到點B．
①求經過點O，點B的直線的函數表達式；
②如圖2，直線AB交y軸于點D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）

如圖1，連接CQ，過Q作QD⊥PC于點D，

由旋轉的性質可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∵P（a，b），

∴OC=a，PC=b，

∴CD= PC= b，DQ= PQ= b，

∴Q（a+ b， b）；

設M（x，y），則N點坐標為（x+ y， y），

∵N（6，﹣ ），

∴ ，解得 ，

∴M（9，﹣2 ）；

故答案為：（a+ b， b）；（9，﹣2 ）

（2）

①∵A是函數y= x圖象上異于原點O的任意一點，

∴可取A（2， ），

∴2+ × = ， × = ，

∴B（ ， ），

設直線OB的函數表達式為y=kx，則 k= ，解得k= ，

∴直線OB的函數表達式為y= x；

②設直線AB解析式為y=k′x+b，

把A、B坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線AB解析式為y=﹣ x+ ，

∴D（0， ），且A（2， ），B（ ， ），

∴AB= = ，AD= = ，

∴ = = =

【解析】（1）連接CQ可知△PCQ為等邊三角形，過Q作QD⊥PC，利用等邊三角形的性質可求得CD和QD的長，則可求得Q點坐標；設出M點的坐標，利用P、Q坐標之間的關系可得到點M的方程，可求得M點的坐標；（2）①可取A（2， ），利用T變換可求得B點坐標，利用待定系數示可求得直線OB的函數表達式；②由待定系數示可求得直線AB的解析式，可求得D點坐標，則可求得AB、AD的長，可求得△OAB的面積與△OAD的面積之比．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質和一次函數的圖象和性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠才能正確解答此題．