Question

已知，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線l₁：y=-x+4與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B，與直線l₂：y=

1

3

x相交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，平行于y軸的直線x=1交直線l₁于點(diǎn)E，交直線l₂于點(diǎn)D，平行于y軸的直x=a交直線l₁于點(diǎn)M，交直線l₂于點(diǎn)N，若MN=2ED，求a的值；
（3）如圖2，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPO=135°，連接AP，探究AP與BP之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）聯(lián)立兩直線解析式得：

y=-x+4 y= 1 3 x

，
解得：

x=3 y=1

，
則C坐標(biāo)為（3，1）；
（2）如圖1所示，將x=1代入y=-x+4得：y=-1+4=3；代入y=

1

3

x得：y=

1

3

，
∴DE=OE-OD=3-

1

3

=

8

3

，
∴MN=2DE=

16

3

，
將x=a代入y=-x+4得：y=-a+4；代入y=

1

3

x得：y=

1

3

a，
∴MN=|-a+4-

1

3

a|=

16

3

，
解得：a=-1或a=7，
則a的值為-1或7；
（3）過O作OQ⊥OP，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，可得∠POQ=90°，
∵∠BPO=135°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠Q=∠OPQ=45°，
∴△POQ為等腰直角三角形，
∴OP=OQ，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ，
∵OA=OB=4，
∴

OA

OP

=

OB

OQ

，
∴△AOP∽△BOQ，
∴∠APO=∠BQO=45°，
∴∠APB=∠BPO-∠APO=90°，
則AP⊥BP．