Question

【題目】如圖，把一個菱形繞著它的對角線的交點旋轉90°，旋轉前后的兩個菱形構成一個“星形”（陰影部分），若菱形的一個內角為60°，邊長為2，則該“星形”的面積是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：在圖中標上字母，令AB與A′D′的交點為點E，過E作EF⊥AC于點F，如圖所示．

∵四邊形ABCD為菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，
∴AO=ABcos∠BAO= ，BO=ABsin∠BAO=1．同理可知：A′O= ，D′O=1，
∴AD′=AO﹣D′O= ﹣1．
∵∠A′D′O=90°﹣30°=60°，∠BAO=30°，
∴∠AED′=30°=∠EAD′，
∴D′E=AD′= ﹣1．在Rt△ED′F中，ED′= ﹣1，∠ED′F=60°，
∴EF=ED′sin∠ED′F= ．
∴S陰影=S菱形ABCD+4S△AD′E= ×2AO×2BO+4× AD′EF=6 ﹣6．
故答案為：6 ﹣6．
根據菱形的性質以及AB=2，∠BAD=60°，可得出線段AO和BO的長度，同理找出A′O、D′O的長度，結合線段間的關系可得出AD′的長度，通過角的計算得出∠AED′=30°=∠EAD′，即找出D′E=AD′，再通過解直角三角形得出線段EF的長度，利用分割圖形法結合三角形的面積公式以及菱形的面積公式即可求出陰影部分的面積．本題考查了菱形的性質、旋轉的性質、解直角三角形、菱形的面積公式以及三角形的面積公式，解題的關鍵是求出△AD′E的面積．本題屬于中檔題，難度不小，歷年來時常會考到周長，今年碰到了求面積，解決該題的技巧是分割圖形，將陰影部分分割成菱形與四個全等的三角形，求出其中任意一個三角形的面積是解決本題的關鍵．