Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線BD于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．

（1）求證：AC=CD;
（2）若OC=，求BH的長.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，

∵C是的中點，AB是⊙O的直徑，

∴CO⊥AB，

∵BD是⊙O的切線，

∴BD⊥AB，

∴OC∥BD，

∵OA=OB，

∴AC=CD；

（2）

解：∵E是OB的中點，

∴OE=BE，

在△COE和△FBE中，

，

∴△COE≌△FBE（ASA），

∴BF=CO，

∵OB=，

∴BF=，

∴AF==5，

∵AB是直徑，

∴BH⊥AF，

∴△ABF∽△BHF，

∴=，

∴ABBF=AFBH，

∴BH===2．

【解析】（1）連接OC，由C是的中點，AB是⊙O的直徑，則CO⊥AB，再由BD是⊙O的切線，得BD⊥AB，從而得出OC∥BD，即可證明AC=CD；
（2）根據點E是OB的中點，得OE=BE，可證明△COE≌△FBE（ASA），則BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直徑，得BH⊥AF，可證明△ABF∽△BHF，即可得出BH的長．
【考點精析】利用切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．