Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC與⊙O相交于點D，點E在⊙O上，且DE=DA，AE與BC相交于點F．
（1）求證：FD=DC；
（2）若AE=8，DE=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵AC是⊙O的切線，
∴BA⊥AC，
∴∠2+∠BAD=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠2，
∵DA=DE，
∴∠1=∠E，
而∠B=∠E，
∴∠B=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AF=AC，
而AD⊥CF，
∴FD=DC；
（2）解：作DH⊥AE于H，如圖，
∵DA=DE=5，
∴AH=EH=AE=4，
在Rt△DEH中，DH= =3，
∵∠B=∠E，∠ADB=∠DHE=90°，
∴△BDA∽△EHD，
∴=，即=，
∴AB=，
∴⊙O的半徑為．

【解析】（1）由切線的性質得BA⊥AC，則∠2+∠BAD=90°，再根據圓周角定理得∠ADB=90°，則∠B+∠BAD=90°，所以∠B=∠2，接著由DA=DE得到∠1=∠E，由圓周角定理得∠B=∠E，所以∠1=∠2，可判斷AF=AC，根據等腰三角形的性質得FD=DC；
（2）作DH⊥AE于H，如圖，根據等腰三角形的性質得AH=EH=AE=4，再根據勾股定理可計算出DH=3，然后證明△BDA∽△EHD，利用相似比可計算出AB= ， 從而可得⊙O的半徑．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．