Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c經過點A（﹣1，t），B（3，t），與y軸交于點C（0，﹣1）．一次函數y=x+n的圖象經過拋物線的頂點D．
（1）求拋物線的表達式；
（2）求一次函數y=x+n的表達式；
（3）將直線l：y=mx+n繞其與y軸的交點E旋轉，使當﹣1≤x≤1時，直線l總位于拋物線的下方，請結合函數圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）二次函數的對稱軸是x==1，
則﹣=1，
解得：b=﹣2，
∵拋物線與y軸交于點C（0，﹣1）．
∴c=﹣1，
則二次函數的解析式是y=x2﹣2x﹣1；
（2）二次函數y=x2﹣2x﹣1的頂點坐標是（1，﹣2），
代入y=x+n得﹣2=1+n，
解得：n=﹣3，
則一次函數y=x+n的表達式是y=x﹣3；
（3）如圖所示：

在y=x2﹣2x﹣1中，當x=﹣1時，y=2；
當x=1時，y=﹣2．
當直線y=mx﹣3經過點（﹣1，2）時，﹣m﹣3=2，解得：m=﹣5；
當直線y=mx﹣3經過點（1，﹣2）時，m﹣3=﹣2，解得：m=1．
則當﹣5＜m＜1時，當﹣1≤x≤1時，直線l總位于拋物線的下方．
【解析】（1）根據A和B對稱，可求得對稱軸，則b的值即可求得，然后根據函數經過點（0，﹣1），代入即可求得c的值，則拋物線解析式即可求得；
（2）首先求得拋物線的頂點，代入一次函數解析式即可求得n的值，求得一次函數的解析式；
（3）首先求得拋物線上當x=﹣1和x=1時對應點的坐標，然后求得直線y=mx+n經過這兩個點時對應的m的值，據此即可求解．
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法即可以解答此題．