Question

問題:如圖，一個圓柱的底面半徑為5dm，BC是底面直徑，高AB為5dm，一只螞蟻從A點出發沿圓柱表面爬行到點C的最短路線，小明設計了兩條路線：

路線1：側面展開圖中線段AC，設路線1的長度為l₁，則l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5л）²=25+25л²
路線2：高線AB+底面直徑BC，設路線2的長度為l₂，則l₂²=（AB+BC）² =（5+10）²=225
∵l₁²-l₂²=25+25л²-225 ＞0，
∴l₁²＞l₂²，
∴l₁＞l₂，
所以要選擇路線2較短。
（1）小明對上述結論有些疑惑，于是把條件改成：“底面半徑為1dm，BC是底面直徑，高AB為5dm”繼續按照上面的路線進行前進計算。
路線1：l₁²=AC²=_____________________；
路線2：l₂²=（AB+BC）² =_________________________；
∵l₁²___________l₂²，
∴l₁_____________l₂，（填 ＞或＜）
∴應選擇________________________；
（2）請你幫助小明繼續研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r，高為h時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到C點的路線最短。

Answer 1

解：（1）路線1：l₁²=AC²=25+π²；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=49，
∵l₁²＜l₂²，
∴l₁＜l₂（填＞或＜），
∴選擇路線1較短；
（2）l₁²=AC²=AB²+=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可，
當時，l₁²=l₂²；
當r＞時，l₁²＞l₂²；
當r＜時，l₁²＜l₂²。