Question

【問題】如圖1、2是底面為1cm，母線長為2cm的圓柱體和圓錐體模型．現要用長為2πcm，寬為4cm的長方形彩紙（如圖3）裝飾圓柱、圓錐模型表面．已知一個圓柱和一個圓錐模型為一套，長方形彩紙共有122張，用這些紙最多能裝飾多少套模型呢？
【對話】老師：“長方形紙可以怎么裁剪呢？”
學生甲：“可按圖4方式裁剪出2張長方形．”
學生乙：“可按圖5方式裁剪出6個小圓．”
學生丙：“可按圖6方式裁剪出1個大圓和2個小圓．”
老師：盡管還有其他裁剪方法，但為裁剪方便，我們就僅用這三位同學的裁剪方法！
【解決】（1）計算：圓柱的側面積是______cm²，圓錐的側面積是______cm²．
（2）1張長方形彩紙剪拼后最多能裝飾______個圓錐模型；5張長方形彩紙剪拼后最多能裝飾______個圓柱體模型．
（3）求用122張彩紙對多能裝飾的圓錐、圓柱模型套數．

Answer 1

解：（1）圓柱的地面底面周長是2π，則圓柱的側面積是2π×2=4πcm²，圓錐的側面積是×2π×2=2πcm²；

（2）圓柱的底面積是：πcm²，則圓柱的表面積是：6πcm2，圓錐的表面積是：3πcm2．
一張紙的面積是：4×2π=8π，
則1張長方形彩紙剪拼后最多能裝飾 2個圓錐模型；5張長方形彩紙剪拼后最多能裝飾6個圓柱體模型，

（3）設做x套模型，則每套模型中做圓錐的需要張紙，作圓柱需要張紙，
∴+≤122，
解得：x≤，
∵x是6的倍數，取x=90，做90套模型后剩余長方形紙片的張數是122-（45+75）=2張，
2張紙不夠坐一套模型．
∴最多能做90套模型．
故答案是：4π，2π；2，6．
分析：（1）利用圓柱的側面積公式以及扇形的面積公式即可求解；
（2）求得圓錐和圓柱的表面積，以及一張紙的面積，據此即可求得；
（3）設做x套模型，根據做圓柱和圓錐所用的紙的數不超過122張，即可列出不等式求解．
點評：考查了圓錐、圓柱的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．