Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（1，1），過A作線段AB∥y軸（B在A下方），以AB為邊向右作正方形ABCD．設點B的縱坐標為m，二次函數y＝ax2﹣4ax的圖象的頂點為E．

（1）AB＝　 　．（用含m的代數式表示）；

（2）當點A恰好在二次函數y＝ax2﹣4ax的圖象上時，求二次函數y＝ax2﹣4ax的關系式．

（3）當點E恰為線段BC的中點時，求經過點D的反比例函數的關系式；

（4）若a＝m+1，當二次函數y＝ax2﹣4ax的圖象恰與正方形ABCD有三個交點且二次函數頂點E不位于直線BC下方時，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）1﹣m；（2）；（3）；（4）m的值為﹣或﹣或﹣．

【解析】

（1）由AB∥y軸可知點A、B橫坐標相等，且B在A下方，所以點A縱坐標減去點B縱坐標即為AB的長．

（2）把點A坐標代入二次函數關系式，解方程求得a即可．

（3）根據正方形四邊相等可用m表示點B、C、D的坐標，進而用m表示BC中點E的橫坐標；把二次函數關系式配方即得到頂點E的橫坐標為2，列得關于m的方程．求得m的值即求得點D坐標，進而用待定系數法求得反比例函數關系式．

（4）由a＝m+1和二次函數頂點E不位于直線BC下方兩個條件求出m的取值范圍即a的取值范圍．畫出草圖發現，當a＞0時，只有當頂點E在線段BC上時可能與正方形ABCD有三個交點，求出此時m、a的值，求出當x＝1和x＝2﹣m時拋物線上的點的縱坐標，發現落在線段AB、CD上，所以成立．當a＜0時，有兩種情況，頂點E在線段AD上或點A在拋物線上，分別求出m、a的值，通過計算說明成立．

解：（1）∵yA＝1，yB＝m，AB∥y軸且點B在點A下方

∴AB＝yA﹣yB＝1﹣m

故答案為：1﹣m．

（2）∵點A（1，1）在二次函數y＝ax2﹣4ax的圖象上

∴a﹣4a＝1

∴a＝

∴二次函數的關系式y＝x2+x

（3）∵y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a

∴二次函數圖象頂點E（2，﹣4a）

∵正方形ABCD中，A（1，1），yB＝m，AB∥y軸

∴B（1，m），BC＝CD＝DA＝AB＝1﹣m

∴C（2﹣m，m），D（2﹣m，1）

∵點E是BC中點

∴xE＝

∴＝2

解得：m＝﹣1

∴D（3，1）

∴經過點D的反比例函數的關系式為y＝

（4）∵點E（2，﹣4a）不位于直線BC下方

∴﹣4a≥m

∵a＝m+1

∴﹣4（m+1）≥m

解得：m≤

①當a＞0時，拋物線開口向上，只有當頂點E在線段BC上時可能與正方形ABCD有三個交點（如圖1）

若m＝即a＝

∴y＝x2x，B（1，），C（，）

∵x＝1時，y＝；x＝時，y＝，

∴拋物線與線段AB、CD有交點，即與正方形ABCD共有3個交點

∴m＝成立

②當a＜0時，拋物線開口向下，xD＝2﹣m＞3，所以點A比點D理拋物線對稱軸直線x＝2近

如圖2，若頂點E在線段AD上，則a＝，m＝，

∴y＝x2+x，A（1，1），D（，1）

∵x＝1時，y＝+1＝＜1；x＝時，y＝，

∴拋物線與線段AB、CD有交點，即與正方形ABCD共有3個交點

∴m＝成立

如圖3，若拋物線過點A，則點A關于對稱軸對稱的點落在線段AD上

∴拋物線與正方形ABCD共有3個交點

∴a＝即m＝，

綜上所述，點m的值為或或．