Question

【題目】如圖，已知平行四邊形中，垂直平分線段連接

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】

（1）先證明△DOE≌△BOF得到OE=OF，推出四邊形BFDE是平行四邊形，由EF⊥BD即可得到結論；

（2）過點B作BM⊥AD于M，由等腰直角三角形的性質求出BM=AM=3，再由勾股定理即可求出AE的長.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，∠EDB=∠FBD，

∵垂直平分線段BD，

∴OB=OD，

∴△DOE≌△BOF，

∴OE=OF，

∴四邊形是平行四邊形，

∵EF⊥BD，

∴四邊形是菱形；

（2）如圖，過點B作BM⊥AD于M，

∵，

∴∠BAM=45°，

∵∠AMB=90°，，

∴AM=BM=3，

∵四邊形BEDF是菱形，

∴BE=DE，

∵,

∴,

∴AE=1.