Question

【題目】如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上一點(diǎn)，弦交于點(diǎn)，弦于點(diǎn)，連接，，且.

（1）求證：；

（2）若，，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）證法一：連接，利用圓周角定理得到，從而證明，然后利用同弧所對(duì)的圓周角相等及三角形外角的性質(zhì)得到，從而使問(wèn)題得解；證法二：連接,，由圓周角定理得到，從而判定，得到，然后利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得，從而求得，使問(wèn)題得解；

（2）首先利用勾股定理和三角形面積求得AG的長(zhǎng)，解法一：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理求GH，CH，CD的長(zhǎng)；解法二：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用AA定理判定，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解.

（1）證法一：連接.

∵為的直徑，∴，

∴

∵,∴

∴

∴.

∵

∴

∵，

∴

∴.

證法二：連接,.

∵為的直徑，∴

∵

∴

∴,

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∵四邊形內(nèi)接于，

∴

∴

∴

∴.

（2）解：在中，,,,

根據(jù)勾股定理得.

連接，

∵為的直徑，

∴

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴四邊形是平行四邊形.

∴.

在中，

,

∴

解法一：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∴

在中，,

∴

在中，

∴

在中，

∴

解法二：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∴

∵

∴

∵

∴四邊形為矩形

∴.

∵四邊形為平行四邊形，

∴

∴.

∵，

∴

∴即

∴