Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，點P是線段BC上的動點（P不與B、C重合），且AD經過P點；已知∠B＝∠D＝30°，BC＝DE，AB＝AD＝10，∠PAC的平分線與∠ACB的平分線交于O．

（1）∠BAD與∠CAE相等嗎？說明其理由；

（2）若AP長為m，請用含m的代數式表示線段PD的長，并求PD的最大值；

（3）當∠BAC＝90°時，α°＜∠AOC＜β°，那么α＝　 　，β＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）∠BAD＝∠CAE，見解析；（2）PD＝10﹣m，5；（3）105,150

【解析】

（1）先利用SAS證明△ABC≌△ADE，然后得出∠BAC＝∠DAE，通過等量代換即可得出∠BAD＝∠CAE；

（2）PD＝AD﹣AP＝10﹣m，由點P在線段BC上且不與B、C重合，得出AP的最小值即AP⊥BC時AP的長度，此時PD可得最大值．

（3）O為△APC角平分線的交點，應用“三角形內角和等于180°“及角平分線定義即可表示出∠AOC，從而得到α，β的值．

解：（1）∠BAD＝∠CAE，理由如下：

如圖所示：

在△ABC和△ADE中，，

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴∠BAC＝∠DAE

即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE

∴∠BAD＝∠CAE．

（2）∵AD＝10，AP＝m，

∴PD＝10﹣m

當AD⊥BC時，AP最小，則PD最大，

∴AP＝AB＝5，

∴PD＝10﹣5＝5

∴PD的最大值為5；

（3）如圖2，設∠BAP＝ ，則∠APC＝，

∵AB⊥AC，，

∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝，

∵∠PAC的平分線與∠ACB的平分線交于O，

∴∠OAC＝∠PAC，∠OCA＝∠PCA

∴

即

∴α＝105，β＝150；