Question

【題目】如圖，已知為等邊三角形，為上一點，為等邊三角形．

（1）求證：；

（2）與能否互相垂直？若能互相垂直，指出點在上的位置，并給予證明；若與不能垂直，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AQ與CQ能互相垂直，此時點P在BC的中點

【解析】

（1）根據等邊三角形性質得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根據SAS證△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，根據平行線的判定推出即可．
（2）根據等腰三角形性質求出∠BAP=30°，求出∠BAQ=90°，根據平行線性質得出∠AQC=90°，即可得出答案．

（1）證明：∵△ABC和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC，
在△ABP和△ACQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，
∴AB∥CQ；

（2）AQ與CQ能互相垂直，此時點P在BC的中點，
證明：∵當P為BC邊中點時，∠BAP=∠BAC=30°，
∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°，
又∵AB∥CQ，
∴∠AQC=90°，
即AQ⊥CQ．