Question

【題目】如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為（10，0），拋物線過點B，C兩點，且與x軸的一個交點為D（﹣2，0），點P是線段CB上的動點，設CP=t（0＜t＜10）．

（1）請直接寫出B、C兩點的坐標及拋物線的解析式；

（2）過點P作PE⊥BC，交拋物線于點E，連接BE，當t為何值時，∠PBE=∠OCD？

（3）點Q是x軸上的動點，過點P作PM∥BQ，交CQ于點M，作PN∥CQ，交BQ于點N，當四邊形PMQN為正方形時，請求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）t的值為或．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的解析式可求得C點坐標，由矩形的性質可求得B點坐標，由B、D的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）可設P（t，4），則可表示出E點坐標，從而可表示出PB、PE的長，由條件可證得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值；

（3）當四邊形PMQN為正方形時，則可證得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性質可求得CQ的長，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，則可用t分別表示出PM和PN，可得到關于t的方程，可求得t的值．

試題解析：

（1）在中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐標代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）由題意可設P（t，4），則E（t，），∴PB=10﹣t，PE=﹣4=，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴，即BPOD=COPE，∴2（10﹣t）=4（），解得t=3或t=10（不合題意，舍去），∴當t=3時，∠PBE=∠OCD；

（3）當四邊形PMQN為正方形時，則∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴，即OQAQ=COAB，設OQ=m，則AQ=10﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8；

①當m=2時，CQ= =，BQ==，∴sin∠BCQ= =，sin∠CBQ==，∴PM=PCsin∠PCQ=t，PN=PBsin∠CBQ=（10﹣t），∴t=（10﹣t），解得t=；

②當m=8時，同理可求得t=，∴當四邊形PMQN為正方形時，t的值為或．