Question

如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M。
（1）求二次函數的解析式；
（2）點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍；
（3）探索：線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形；如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3） 
        ∴，解得
        ∴二次函數的解析式為；
（2），∴M（1，4）
         設直線MB的解析式為，則有，解得
         ∴直線MB的解析式為
         ∵PQ⊥軸，OQ=m，∴點P的坐標為（m，-2m+6） 
        
                    
（3）線段BM上存在點N 使△NMC為等腰三角形；
       ，
      
      ①當CM=NC時，，解得（舍去）
          此時N
      ②當CM=MN時，
         解得（舍去），此時N
    ③當CN=MN時，
       解得x=2，此時N （2，2）