Question

（2013•常德）如圖，已知二次函數的圖象過點A（0，-3），B（

3

，

3

），對稱軸為直線x=-

1

2

，點P是拋物線上的一動點，過點P分別作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，在四邊形PMON上分別截取PC=

1

3

MP，MD=

1

3

OM，OE=

1

3

ON，NF=

1

3

NP．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）求證：以C、D、E、F為頂點的四邊形CDEF是平行四邊形；
（3）在拋物線上是否存在這樣的點P，使四邊形CDEF為矩形？若存在，請求出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式和待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）證明△PCF≌△OED，得CF=DE；證明△CDM≌△FEN，得CD=EF．這樣四邊形CDEF兩組對邊分別對應相等，所以四邊形CDEF是平行四邊形；
（3）根據已知條件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以證明矩形PMON是正方形．這樣點P就是拋物線y=x²+x-3與坐標象限角平分線y=x或y=-x的交點，聯立解析式解方程組，分別求出點P的坐標．符合題意的點P有四個，在四個坐標象限內各一個．

解答：（1）解：設拋物線的解析式為：y=a（x+

1

2

）²+k，
∵點A（0，-3），B（

3

，

3

）在拋物線上，
∴

1 4 a+k=-3 a( 3 + 1 2 )2+k= 3

，
解得：a=1，k=-

13

4

．
∴拋物線的解析式為：y=（x+

1

2

）²-

13

4

=x²+x-3．

（2）證明：如右圖，連接CD、DE、EF、FC．
∵PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，
∴四邊形PMON為矩形，
∴PM=ON，PN=OM．
∵PC=

1

3

MP，OE=

1

3

ON，
∴PC=OE；
∵MD=

1

3

OM，NF=

1

3

NP，
∴MD=NF，
∴PF=OD．
在△PCF與△OED中，

PC=OE ∠FPC=∠DOE=90° PF=OD

∴△PCF≌△OED（SAS），
∴CF=DE．
同理可證：△CDM≌△FEN，
∴CD=EF．
∵CF=DE，CD=EF，
∴四邊形CDEF是平行四邊形．

（3）解：假設存在這樣的點P，使四邊形CDEF為矩形．
設矩形PMON的邊長PM=ON=m，PN=OM=n，則PC=

1

3

m，MC=

2

3

m，MD=

1

3

n，PF=

2

3

n．
若四邊形CDEF為矩形，則∠DCF=90°，易證△PCF∽△MDC，
∴

PC

MD

=

PF

MC

，即

1 3 m

1 3 n

=

2 3 n

2 3 m

，化簡得：m²=n²，
∴m=n，即矩形PMON為正方形．
∴點P為拋物線y=x²+x-3與坐標象限角平分線y=x或y=-x的交點．
聯立

y=x2+x-3 y=x

，
解得

x1= 3 y1= 3

，

x2=- 3 y2=- 3

，
∴P₁（

3

，

3

），P₂（-

3

，-

3

）；
聯立

y=x2+x-3 y=-x

，
解得

x1=-3 y1=3

，

x2=1 y2=-1

，
∴P₃（-3，3），P₄（1，-1）．
∴拋物線上存在點P，使四邊形CDEF為矩形．這樣的點有四個，在四個坐標象限內各一個，其坐標分別為：P₁（

3

，

3

），P₂（-

3

，-

3

），P₃（-3，3），P₄（1，-1）．

點評：本題是二次函數綜合題型，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知識點，所涉及的考點較多，但難度均勻，是一道好題．第（2）問的要點是全等三角形的證明，第（3）問的要點是判定四邊形PMON必須是正方形，然后列方程組求解．