Question

【題目】

已知：如圖，在△ABC中，M是邊AB的中點(diǎn)，D是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，DN∥CM，交邊AC于點(diǎn)N．

（1）求證：MN∥BC；

（2）當(dāng)∠ACB為何值時(shí)，四邊形BDNM是等腰梯形？并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，四邊形BDNM是等腰梯形．

證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）證法一：取邊BC的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)ME．

∵BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．

∴∠MEC=∠NCD．

∵，∴．

∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．

∴△MEC≌△NCD．

∴．

又∵CM∥DN，∴四邊形MCDN是平行四邊形．

∴MN∥BC．

證法二：延長(zhǎng)CD到F，使得，聯(lián)結(jié)AF．

∵，，∴．

∵，∴MC∥AF．

∵M(jìn)C∥DN，∴ND∥AF．

又∵，∴．

∴MN∥BC．

（2）解：當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，四邊形BDNM是等腰梯形．

證明如下：

∵M(jìn)N∥BD，BM與DN不平行，∴四邊形BDNM是梯形．

∵∠ACB=90°，，∴．

∵，∴BMDN．

∴四邊形BDNM是等腰梯形．